II- Un indexe des ensembles de Julia: L'ensemble de Mandelbrot.


Il s'agit probablement là de l'objet mathématique le plus complexe jamais découvert. Visualisé pour la première fois en 1980 par Benoît Mandelbrot, il a été baptisé en son honneur “ensemble de Mandelbrot” par Adrien Douady et John Hubbard, deux mathématiciens ayant largement contribué à une meilleure connaissance de cet objet.


a) Définition

Gaston Julia et Pierre Fatou ont tous deux prouvé que tous les points c pour lesquels les ensembles de Julia sont connexes, c'est à dire d'un seul tenant, étaient les valeurs de c pour lesquelles la suite définie par et ne diverge pas.

Ils donc ont démontré l'équivalence:

Pas tellement plus digeste.

Cependant, félicitations. Vous venez de rencontrer le très célèbre ensemble de Mandelbrot. Notons le M. Remarquons tout d'abord que, tout comme , M est un sous-ensemble de .

On a donc

ou encore


b) Un index des ensembles de Julia

Il existe un nombre infini de. Ils peuvent donc revêtir un nombre infini d'aspects. Cependant, certains aspects globaux sont à remarquer. Mais avant d'en dire plus, observons ces images (déjà .

<images>

<faire une description+explication des images>


On établit le répertoire suivant:

Si alors J est connexe (tous ses points sont « reliés »)

-Si c appartient à la partie principale de M, alors J est plus ou moins un cercle déformé fractal. (fig1)

-Si c appartient à l'un des bourgeons, alors J est composé d'une infinité de cercles déformés fractals. (fig2)

-Si c approche de la frontière, alors il revet un aspect très intéressant et extrêmement complexe. En effet, il subit alors une “explosion” et de connexe devient une multitude de parties. On imagine donc bien la complexité qui le caractérise .

Si alors J n'est pas connexe, il a l'aspect d'une nuée d'une quantité infinie de points.(fig3)

figure 1, 2, et 3
Figures 1,2 et 3




Ensembles de Julia correspondant à la position de c dans M



  1. Propriétés de l'ensemble de Mandelbrot.

Remarque: La plupart des démonstrations des propriétés énoncées ci-dessous ne sont bien entendu pas abordables pour les simples érudits que nous sommes, du moins pas en le laps de temps qui nous est accordé. Si vous voulez vous pencher dessus, les références sont à la fin du tpe. (N'oubliez pas le dictionnaire anglais-français...)

M est “compact, connexe et plein” (démontré en 1980 par Adrien Douady et John Hubbard).

La frontière de M a une dimension de Hausdorff de 2 (démontré en 1994 par Mitsuhiro Shishikura). Cela prouve qu'il s'agit d'une courbe fractale, dans un premier temps, et qu'elle a une complexité maximale dans un second. Le périmètre est donc bien infini, comme l'on pouvait l'intuiter.

M est symétrique part rapport à l'axe des réels.

M est compris dans le cercle de centre O et de rayon 2. Son aire est donc finie.

<voir la démonstration>


Voici maintenant quelques zooms sur ce fascinant ensemble.




Zooms








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