Démonstration 2
Rappels:
Pour
tout
;
la suite associée à P est
définie par
avec
Démontrons
que M est compris dans le cercle de rayon 2 et de centre O i.e. que
pour tout c tel que
la suite
diverge vers
.
Montrons
par récurrence sur n que
;
On a:
Et
la
relation est vraie pour
c'est à dire pour
Supposons maintenant que la relation est vraie au rang n; et montrons qu'elle l'est au rang n+1
(Remarquons
en premier lieu que
et, comme on l'a supposé, que
d'où l'on déduit que
.)
car
on soustrait
car
car
on suppose
On
a bien
La
relation est bien valable au rang n+1; nous avons donc montré
par récurrence sur n que
pour tout
Soit
la
suite qui à
associe
.
Pour
,
on a
et
,
par conséquent la limite quand n tend vers l'infini de la
suite
existe et vaut
.
On
déduit donc que la limite de
est
également
.
Pour tout
tel
que
la
suite
diverge. Les points c vérifiant
n'appartiennent
pas à M, l'ensemble de Mandelbrot.
M est compris dans le cercle de contre O et de rayon 2. cqfd.