B) Les ensembles de Julia l'ensemble de Mandelbrot.
Ces ensembles sont très certainement des fractales les plus célèbres dont puissent se vanter les mathématiciens. Elles sont partout. Sur le net, bien sûr, mais également dans des logiciels faisant intervenir le « hasard »(et j'insiste sur les guillemets) et l'aléatoire. On les connaît notamment à cause de leur « beauté », de leur aspect du moins. Mais, bien plus que de simples images, ce sont probablement là les objets mathématiques les plus complexes jamais découverts par l'homme. Mais que sont réellement ces objets mathématiques?
I-Les ensembles de Julia et de Fatou.
Bien que n'ayant étés tracés sur ordinateur, et donc visualisés, pour la première fois que dans les années 1980, ces ensembles sont connus depuis 1918 grâce à deux scientifiques de talent: Gaston Julia et Pierre Fatou. Seule l'absence de moyens techniques ont pu empêcher les deux hommes d'aboutir dans leurs recherches.
Mais voici pour commencer un ensemble de Julia.
a) Définitions.
( remarque: Si vous n'avez pas de connaissances en nombres complexes, il s'avèrera nécessaire de commencer par les étudier afin de pouvoir comprendre cette partie, et notamment les démonstrations.)
Pour mieux comprendre, tâchons d' appréhender le problème de façon la plus simple possible.
Nous travaillons dans le plan des
complexe
,
l'axe des réels est donc l'axe des abscisses tandis que l'axe
des imaginaires correspond à l'axe des ordonnées.
Considérons alors la suite
définie par
. c est un nombre complexe.
c
étant la constante, cherchons, pour une valeur donnée
de c, les valeurs de
pour lesquelles la suite ne converge ni ne diverge. Nous
venons de découvrir un ensemble de Julia. Cherchons
maintenant toutes les valeurs
qui n'appartiennent pas à l'ensemble de Julia rempli.
Nous venons de découvrir un ensemble de Fatou. Bien
entendu, la tâche n'est pas abordable par un simple humain, car
avoir confirmation que la suite diverge peut nécessiter 10,
100, 1000 ... voire une infinité d'itérations. L'usage
d'un ordinateur se révèle nécessaire pour
visualiser ces exemples.
À chaque valeur de c sont donc associés un ensemble de Julia et un ensemble de Fatou; Il existe une infinité d'ensembles de Julia et d'ensembles de Fatou.
Clarifions:
Soit
,
soit
La suite associée à P
est la suite
définie par
et
.
•L'ensemble
de Julia, noté
,
est l'ensemble des points
tels que
ne converge ni ne diverge, i.e. est bornée mais ne converge
pas.
•L'ensemble
de Julia rempli, noté
,
est l'ensemble des points
tels que
converge auquel on ajoute l'ensemble de Julia ( La notion est plus
simple à assimiler intuitivement grâce au nom qu'avec le
langage mathématique.);
•L'ensemble
de Fatou, noté
,
est le complémentaire de
dans
le plan des complexes.
Pour mieux cerner ces charmants ensembles, voyons quelques exemples:
• Commençons par le cas le plus simple: celui où c est un réel. On obtient des courbes (pas toujours fractales) symétriques par rapport à l'axe des réels (démonstration dans la partie « propriétés »).
Les images ci-dessus sont des ensembles de Julia classés selon la valeur de c (ordre croissant).
• Dans le cas où c est un complexe, on peut obtenir des ensemble très variés. Quelles exemples sont donnés ci-dessous.
b) Cas particulier.
Étudions le cas le plus simple, celui où c a pour valeur 0 (soulagés?).
La suite
prend alors la forme
d'où
D'où:
•Pour
,
i.e. pour
extérieur au cercle de centre O et de rayon 1, on a
,
donc la suite diverge vers
.
•Pour
,
i.e. pour
élément du disque de centre O et de rayon 1, on a
,
donc la suite converge vers 0.
•pour
,
i.e. pour
élément du cercle de centre O et de rayon 1, on a
,
donc la suite est bornée, sa limite vaut 1.
Conclusions:
-
est
le cercle de centre O et de rayon 1
-
est
le disque de centre O et de rayon 1
-
est
l'ensemble des points extérieurs au cercle de centre O et de
rayon 1
Notons également que pour c=(-2) l'ensemble de Julia est un segment de droite d'intervalle [-2;2]
Propriétés des ensembles de Julia:
•Les ensembles de Julia sont
symétriques par rapport à O. Si
,
les ensembles de Julia sont symétriques à la fois par
rapport à l'axe des réels et celui des imaginaire.
preuve: Soit P le polynôme
associé à
.
Si
,
alors
.
Conséquences:
Si
,
alors
est symétrique par rapport à O (En effet, chez les
complexes, l'opposé d'un nombre est son symétrique par
rapport à O).
Si,
alors
est symétrique non seulement par rapport à O mais aussi
par rapport à l'axe des imaginaires. Par conséquent,
est également symétrique par rapport à l'axe des
réels.
•Les
ensembles de Julia sont compris dans un cercle de rayon
.
(Démonstration bientôt disponible)
=> Les ensembles de Julia paraissent déjà déconcertants de par leur variété, mais que serait-ce si nous ne connaissions pas l'ensemble de Mandelbrot?