II- Comment procéder pour obtenir une fractale géométrique? Application sur une fractale « simple »
a) cas général.
Tout d’abord il faut partir de deux formes géométriques, l’une étant appelée « initiateur » et l’autre « générateur » .Le générateur est une ligne brisée avec n le nombre de segments égaux constituant cette ligne brisée et r la longueur d’un segment.
En partant de l’initiateur, chaque étape de la construction consiste à remplacer chaque segment de l’initiateur par une copie du générateur, réduite et placée de telle façon que les deux points aux extrémités soient les points des extrémités du segment à remplacer.
On appelle itérations ces étapes de la construction ;Si l’on répète la même opération n fois, on parlera de l’image de la n-ième itération.
b) application: le flocon de Von Koch
Nous pouvons prendre comme exemple la courbe de Von Koch(appelé également flocon de neige), une des courbes fractales la plus connue :
Soit (1) l’initiateur et (2) le générateur (=la ligne brisée)
On part d’un triangle équilatéral.
Pour commencer, on remplace chaque segment de l’initiateur, c’est a dire les trois cotés du triangle, par une copie du générateur (ce qui correspond ici au passage du dessin 1 au dessin 2).
Puis on répète cette même opération sur tous les segments obtenus, c’est à dire sur les 12 cotés.(passage du 2 au 3)
En continuant suffisamment longtemps, on arrive à la figure ci-dessous. On constate rapidement que le périmètre devient infini mais que la courbe possède pourtant une aire intérieure finie (principale propriété des courbes fractales)
On
constate que le motif
est
omniprésent dans la figure, dans toutes les orientations et à
toutes les échelles possibles. C'est cela qu'on appelle
auto similarité. Évidemment, dans l'idéal
mathématique, on continue indéfiniment les
itérations :Ici, il ne s’agit ici que d’une
représentation graphique. Un objet fractal est en théorie
le fruit d’une infinité d’itérations, mais
les représentations par ordinateur se contentent d'un certain
degré de précision.
Toutes les fractales ne sont pas construites à partir d'un initiateur et d'un générateur, mais par contre le terme "itération" va revenir souvent. En effet, toutes les fractales sont construites en itérant un algorithme, qui diffère selon le type de fractale que l'on veut construire.
C'est pourquoi, lorsque nous étudions les fractales, nous faisons souvent appel aux limites, lorsque le nombre n d'itérations tend vers l'infini.